solution

Một hộp có $k$ màu bi, màu thứ $i$ có $c_i$ viên bi ($i=1,\dots,k$), tổng cộng $\sum c_i$ viên bi phân biệt (coi các bi cùng màu là phân biệt với nhau nhưng không quan tâm thứ tự bốc). Bốc ngẫu nhiên (không hoàn lại) $r$ viên bi cùng lúc từ hộp, mọi tổ hợp $r$ viên đồng khả năng.

Cho trước dãy số nguyên $n_1, \dots, n_k$ (số viên bi màu $i$ mong muốn có trong nhóm bốc ra). Gọi $B$ là biến cố "trong $r$ viên bốc ra có đúng $n_i$ viên màu $i$, với mọi $i$". Hãy tính $P(B)$ (đây chính là công thức phân phối siêu bội nhiều biến - multivariate hypergeometric).

Công thức: $P(B) = \dfrac{\prod_{i=1}^{k} \binom{c_i}{n_i}}{\binom{\sum c_i}{r}}$, quy ước $\binom{c_i}{n_i} = 0$ nếu $n_i < 0$ hoặc $n_i > c_i$, và $P(B)=0$ nếu $\sum n_i \ne r$.

Ví dụ: $k=2$, $c=(5,5)$, $r=3$, cần đúng $2$ bi màu 1 và $1$ bi màu 2: $P(B) = \binom{5}{2}\binom{5}{1} / \binom{10}{3} = 10\cdot 5/120 = 5/12$.