solution

Xét một đồng xu có xác suất ra mặt sấp (H) là $\theta$, với $\theta$ chỉ nhận một trong $m$ giá trị rời rạc cho trước $\theta_1,\dots,\theta_m$ (grid), mỗi giá trị có xác suất tiên nghiệm tương ứng $\pi_1,\dots,\pi_m$ ($\sum_i \pi_i = 1$).

Tung đồng xu $n$ lần độc lập (cùng một đồng xu, $\theta$ không đổi trong suốt $n$ lần tung) và quan sát được một dãy kết quả gồm các ký tự H/T. Gọi $h$ và $t$ lần lượt là số lần ra H và T trong dãy ($h+t=n$). Theo định lý Bayes, xác suất hậu nghiệm của từng giá trị $\theta_i$ là:

$P(\theta_i \mid \text{dữ liệu}) = \dfrac{\pi_i \cdot \theta_i^{h}(1-\theta_i)^{t}}{\sum_{j=1}^{m} \pi_j \cdot \theta_j^{h}(1-\theta_j)^{t}}$

Hãy tính:

1. Chỉ số $i$ (1-indexed, theo thứ tự trong input) của giá trị có xác suất hậu nghiệm lớn nhất (MAP). Nếu có nhiều giá trị đồng hạng nhất, chọn chỉ số nhỏ nhất.
2. Kỳ vọng hậu nghiệm $E[\theta\mid\text{dữ liệu}] = \sum_i \theta_i \cdot P(\theta_i\mid\text{dữ liệu})$.

Vì $n$ có thể lớn (tới $10^5$), các tích $\theta_i^h(1-\theta_i)^t$ có thể tràn số dưới nếu tính trực tiếp — cần tính toán trong không gian log.

Ví dụ: $m=2$, $n=10$, $\theta=(0.3, 0.7)$, $\pi=(0.5,0.5)$, dãy HHHHHHHHHH (10 chữ H) — kết quả nghiêng mạnh về $\theta_2=0.7$: MAP là chỉ số $2$, kỳ vọng hậu nghiệm $\approx 0.699916$.