solution

Cho $X \sim B(n_1, p_1)$ và $Y \sim B(n_2, p_2)$ là hai biến ngẫu nhiên độc lập, với $p_1 = a_1/b_1$, $p_2 = a_2/b_2$ (có thể $p_1 \ne p_2$, nên $X+Y$ không còn là phân phối nhị thức chuẩn nếu $p_1 \neq p_2$). Hãy tính chính xác $P(X + Y = k)$ bằng công thức tích chập (convolution): $P(X+Y=k) = \sum_{i=\max(0,\,k-n_2)}^{\min(n_1,\,k)} P(X=i)\, P(Y=k-i).$

Ví dụ: $n_1=3, p_1=1/2$, $n_2=2, p_2=1/2$ (cùng $p$ nên $X+Y \sim B(5,1/2)$), $k=2$: $P = \binom{5}{2}/32 = 5/16$.