solution

Cho $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ và một xác suất $p$ ($0 < p < 1$). Phân vị mức $p$ (quantile) là giá trị $x_p$ thỏa mãn

$F(x_p) = P(X \le x_p) = p,\qquad \text{trong đó } F(x)=\dfrac12\left[1+\operatorname{erf}\!\left(\dfrac{x-\mu}{\sigma\sqrt2}\right)\right].$

Vì $F$ không có công thức ngược sơ cấp, hãy tìm $x_p$ bằng phương pháp tìm kiếm nhị phân trên đoạn $[\mu-20\sigma,\ \mu+20\sigma]$: lặp đúng 200 lần, mỗi lần tính điểm giữa mid, nếu $F(\text{mid}) < p$ thì thu hẹp cận trái về mid, ngược lại thu hẹp cận phải về mid; kết quả cuối cùng là điểm giữa của đoạn sau 200 lần lặp (thuật toán tất định, không cần thư viện tối ưu).

Ví dụ: $\mu=100, \sigma=15, p=0.975$: $x_p \approx 129.3995$ (đây chính là mốc $\mu+1.96\sigma$ quen thuộc).