solution

Một hệ thống ngân hàng dùng thuật toán để gắn cờ ("flag") các giao dịch nghi ngờ gian lận. Biết:

• $p$: xác suất tiên nghiệm (prior) một giao dịch là gian lận, $P(\text{Fraud}) = p$;
• $tp$: xác suất thuật toán gắn cờ khi giao dịch thực sự là gian lận, $P(\text{Flag} \mid \text{Fraud}) = tp$;
• $fp$: xác suất thuật toán gắn cờ khi giao dịch không phải gian lận (báo động giả), $P(\text{Flag} \mid \neg\text{Fraud}) = fp$.

Sử dụng công thức Bayes, hãy tính:

1. $P(\text{Fraud} \mid \text{Flag})$ — xác suất giao dịch là gian lận biết rằng nó bị gắn cờ;
2. $P(\text{Fraud} \mid \neg\text{Flag})$ — xác suất giao dịch là gian lận biết rằng nó không bị gắn cờ.

Quy ước xử lý trường hợp suy biến: nếu $p = 0$ thì cả hai giá trị trên bằng $0$; nếu $p = 1$ thì cả hai giá trị trên bằng $1$; nếu một trong hai mẫu số ($P(\text{Flag})$ hoặc $P(\neg\text{Flag})$) bằng $0$ (biến cố tương ứng không thể xảy ra) thì quy ước giá trị hậu nghiệm tương ứng bằng $0$.

Ví dụ: $p=0.5,\ tp=0.5,\ fp=0.5$ (thuật toán không mang thông tin gì) thì cả hai xác suất hậu nghiệm đều bằng prior: $0.500000\ 0.500000$.