solution

Có $n$ hộp bi, đánh số $1, 2, \dots, n$. Người chơi chọn ngẫu nhiên một hộp, trong đó hộp thứ $i$ được chọn với xác suất tỉ lệ thuận với trọng số nguyên dương $w_i$ (nghĩa là xác suất chọn hộp $i$ bằng $w_i / \sum_j w_j$). Hộp thứ $i$ chứa $r_i$ viên bi đỏ và $b_i$ viên bi xanh (đảm bảo $r_i + b_i \ge 1$).

Sau khi chọn hộp, người chơi lấy ngẫu nhiên (đều) một viên bi từ hộp đó và thấy viên bi lấy ra có màu đỏ.

Áp dụng công thức Bayes, hãy tính xác suất hậu nghiệm (posterior) rằng viên bi vừa lấy ra là từ hộp $i$, với mọi $i = 1, \dots, n$.

Về mặt công thức: gọi $H_i$ là biến cố "chọn hộp $i$", $D$ là biến cố "bi lấy ra màu đỏ". Ta có

$P(H_i \mid D) = \frac{P(H_i) \cdot P(D \mid H_i)}{\sum_{j=1}^n P(H_j) \cdot P(D \mid H_j)}, \qquad P(D \mid H_i) = \frac{r_i}{r_i + b_i}.$

Ví dụ: Với $n=2$, hộp 1 có trọng số 1 và toàn bộ 3 bi đều đỏ, hộp 2 có trọng số 1 và toàn bộ 3 bi đều xanh. Vì bi lấy ra là đỏ nên chắc chắn đến từ hộp 1, do đó posterior là $1.000000$ và $0.000000$.