solution

Có $k$ giả thuyết về loại xúc xắc $s$-mặt (các mặt đánh số $1,\dots,s$) đang được sử dụng để tạo ra một dãy các lần tung. Giả thuyết thứ $j$ ứng với xúc xắc có phân phối xác suất $q_{j,1},\dots,q_{j,s}$ trên các mặt ($\sum_v q_{j,v}=1$), và có xác suất tiên nghiệm được chọn là $\pi_j$ ($\sum_j \pi_j=1$).

Quan sát một dãy gồm $n$ lần tung độc lập, biết rằng cùng một xúc xắc (chưa biết là giả thuyết nào) được dùng cho toàn bộ $n$ lần tung. Gọi $c_v$ là số lần mặt $v$ xuất hiện trong dãy. Theo định lý Bayes:

$P(\text{giả thuyết } j \mid \text{dữ liệu}) = \dfrac{\pi_j \prod_{v=1}^{s} q_{j,v}^{c_v}}{\sum_{l=1}^{k} \pi_l \prod_{v=1}^{s} q_{l,v}^{c_v}}$

Hãy tính xác suất hậu nghiệm cho mỗi giả thuyết $j=1,\dots,k$, và cho biết giả thuyết có xác suất hậu nghiệm cao nhất (chỉ số nhỏ nhất nếu đồng hạng). Vì $n$ có thể lớn, cần tính toán trong không gian log để tránh tràn số dưới.

Ví dụ: $k=2, s=2, n=5$; giả thuyết 1: $q_1=(0.5,0.5)$; giả thuyết 2: $q_2=(0.2,0.8)$; $\pi=(0.5,0.5)$; dãy 1 2 2 2 2 (mặt 2 xuất hiện 4 lần, mặt 1 xuất hiện 1 lần) — kết quả nghiêng về giả thuyết 2: hậu nghiệm $\approx (0.276133,\ 0.723867)$, giả thuyết tốt nhất là $2$.