solution

Có hai tổng thể độc lập. Từ tổng thể 1 lấy mẫu ngẫu nhiên kích thước $n_1$ với trung bình tổng thể $\mu_1$ và độ lệch chuẩn $\sigma_1$; từ tổng thể 2 lấy mẫu ngẫu nhiên kích thước $n_2$ với trung bình $\mu_2$ và độ lệch chuẩn $\sigma_2$, hai mẫu độc lập với nhau.

Theo CLT, khi $n_1, n_2$ đủ lớn: $\bar X_1 \sim N\!\left(\mu_1, \dfrac{\sigma_1^2}{n_1}\right)$, $\bar X_2 \sim N\!\left(\mu_2, \dfrac{\sigma_2^2}{n_2}\right)$ (xấp xỉ, độc lập), do đó:

$D = \bar X_1 - \bar X_2 \ \sim\ N\!\left(\mu_1-\mu_2,\ \frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}\right)$

Với ngưỡng $d$ cho trước, hãy tính $P(D > d)$.

Quy ước trường hợp suy biến: nếu $\dfrac{\sigma_1^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_2^2}{n_2} = 0$ (tức $\sigma_1=\sigma_2=0$) thì $D$ tất định bằng $\mu_1-\mu_2$: kết quả là $1$ nếu $\mu_1-\mu_2 > d$, ngược lại là $0$ (kể cả khi bằng $d$).

Ví dụ: $n_1=100, \mu_1=10,\sigma_1=2, n_2=100,\mu_2=10,\sigma_2=2, d=0$. Do $\mu_1=\mu_2$ nên $D$ có phân phối đối xứng quanh 0, kết quả $P(D>0) = 0.500000$.