solution

Biên độ nhiễu (hoặc tốc độ gió) $X$ tuân theo phân phối Rayleigh với tham số $\sigma>0$, hàm mật độ: $f(x) = \frac{x}{\sigma^2}\exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right), \quad x \ge 0$

Biết:

• Kỳ vọng: $E[X] = \sigma\sqrt{\pi/2}$
• Mode (giá trị mật độ đạt cực đại): bằng $\sigma$
• Hàm sống sót (xác suất vượt ngưỡng): $P(X>r) = \exp\left(-\dfrac{r^2}{2\sigma^2}\right)$

Cho $\sigma$ và $n$ ngưỡng $r_1,\dots,r_n$ ($r_i \ge 0$), hãy tính:

1. Kỳ vọng và mode của $X$ (in trên 1 dòng, cách nhau bởi dấu cách).
2. Với mỗi $r_i$: xác suất $P(X>r_i)$.

Ví dụ: $\sigma=1$: $E[X]\approx1.253314$, mode $=1$; $r=0$ cho $P(X>0)=1$; $r=1$ cho $P(X>1)=e^{-0.5}\approx0.606531$.