solution

Cho một chuỗi Markov hữu hạn trạng thái $\{1,\ldots,n\}$ với ma trận chuyển $P$ (cỡ $n \times n$), trong đó $P_{ij}$ là xác suất chuyển từ trạng thái $i$ sang trạng thái $j$ ở mỗi bước, được cho dưới dạng phân số $a_{ij}/b_{ij}$ (mỗi hàng của $P$ có tổng đúng bằng 1). Đề bài đảm bảo chuỗi có duy nhất một phân phối dừng $\pi = (\pi_1,\ldots,\pi_n)$ thoả

$\pi P = \pi, \qquad \sum_{i=1}^n \pi_i = 1, \qquad \pi_i \ge 0.$

Hãy tính chính xác $\pi_1,\ldots,\pi_n$ dưới dạng phân số tối giản.

Ví dụ: $n=2$, $P = \begin{pmatrix} 1/3 & 2/3 \\ 3/4 & 1/4 \end{pmatrix}$ cho $\pi = (9/17,\ 8/17)$.