solution

Cho biến ngẫu nhiên rời rạc $X$ với bảng phân phối gồm $n$ cặp $(x_i, p_i)$ ($x_i$ nguyên đôi một phân biệt). Xét biến ngẫu nhiên mới $Y = aX + b$ với $a, b$ là các số nguyên cho trước, $a \ne 0$. Nếu có nhiều giá trị $x_i$ khác nhau cho cùng một giá trị $y = ax_i+b$ (trường hợp này không xảy ra khi $a \ne 0$ và $x_i$ phân biệt, nhưng chương trình vẫn phải xử lý tổng quát), xác suất tại giá trị $y$ đó là tổng các $p_i$ tương ứng.

Hãy xác định:

1. Số giá trị phân biệt mà $Y$ có thể nhận.
2. $E[Y]$ và $Var[Y]$.
3. Mode của $Y$: giá trị $y$ có xác suất lớn nhất; nếu có nhiều giá trị cùng đạt xác suất lớn nhất, chọn giá trị nhỏ nhất trong số đó.

Ví dụ: $X \in \{0,1,2\}$, $p=(0.2,0.5,0.3)$, $a=2, b=-3$. Khi đó $Y \in \{-3,-1,1\}$ với xác suất tương ứng $(0.2, 0.5, 0.3)$, nên có 3 giá trị phân biệt, $E[Y]=-0.8$, $Var[Y]=1.96$, mode $=-1$.

Input:

3
0 0.2
1 0.5
2 0.3
2 -3

Output:

3 -0.8000 1.9600 -1