solution

Trong kiểm định giả thuyết thống kê (ví dụ kiểm định phương sai, kiểm định phù hợp $\chi^2$), thống kê kiểm định $T$ tuân theo phân phối Chi-bình phương với $k$ bậc tự do, $T\sim\chi^2_k$. Khi $k$ là số chẵn, $k=2m$, hàm phân phối tích luỹ có dạng đóng (không cần tích phân số): $F(x;k) = 1-e^{-x/2}\sum_{i=0}^{m-1}\frac{(x/2)^i}{i!}, \quad x\ge 0$

Do đó, giá trị p-value (xác suất đuôi phải) ứng với giá trị quan sát $x$ là: $p\text{-value} = P(T>x) = 1-F(x;k) = e^{-x/2}\sum_{i=0}^{m-1}\frac{(x/2)^i}{i!}$

Cho $k$ (số chẵn, $k\ge2$) và $n$ giá trị thống kê quan sát $x_1,\dots,x_n \ge 0$, hãy tính p-value tương ứng với mỗi $x_i$.

Ví dụ: $k=20$ (bậc tự do quen thuộc trong bảng $\chi^2$), với $x=31.41$ ta có p-value $\approx 0.05$ — đúng bằng giá trị tới hạn mức ý nghĩa 5% quen thuộc trong bảng tra $\chi^2_{20}$.