solution

Khi cỡ mẫu nhỏ và phương sai tổng thể chưa biết, kiểm định trung bình cần dùng phân phối Student $t$ thay vì phân phối chuẩn. Cho mẫu ngẫu nhiên kích thước $n$ với trung bình mẫu $\bar x$ và độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh $s$ (đã được tính sẵn từ dữ liệu gốc). Xét cặp giả thuyết hai phía: $H_0: \mu = \mu_0 \quad \text{và} \quad H_1: \mu \ne \mu_0$ ở mức ý nghĩa $\alpha$, với bậc tự do $df = n-1$.

Tiêu chuẩn kiểm định: $t = \dfrac{\bar x - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$

Giá trị p hai phía được tính chính xác từ phân phối Student $t_{df}$ thông qua hàm beta không đầy đủ chuẩn hoá (regularized incomplete beta function) $I_x(a,b)$: $p = I_{x}\!\left(\dfrac{df}{2}, \dfrac{1}{2}\right), \qquad x = \dfrac{df}{df+t^2}$ trong đó $I_x(a,b) = \dfrac{1}{B(a,b)}\int_0^x u^{a-1}(1-u)^{b-1}\,du$

Thí sinh cần tự cài đặt việc tính $I_x(a,b)$ (ví dụ bằng phân số liên tục Lentz kết hợp $\log\Gamma$).

Quy tắc quyết định: nếu $p < \alpha$ thì bác bỏ $H_0$, ngược lại không bác bỏ.