solution

Một thí nghiệm gồm $N$ lần lặp độc lập, mỗi lần gồm $n$ phép thử con (ví dụ: tung $n$ đồng xu một lượt), và ta đếm số lần "thành công" $k \in \{0,1,\dots,n\}$ trong mỗi lần lặp. Cho tần số quan sát $O_0, O_1,\dots,O_n$ (với $\sum_{k=0}^n O_k = N$).

Giả thuyết $H_0$: số lần thành công tuân theo phân phối Nhị thức $\text{Binomial}(n, p)$ với $p$ chưa biết, được ước lượng bằng phương pháp hợp lý cực đại:

$\hat p = \frac{\sum_{k=0}^{n} k\,O_k}{n\,N}$

Tần số kỳ vọng của nhóm $k$: $E_k = N \binom{n}{k} \hat p^{k} (1-\hat p)^{n-k}$.

Chỉ tính tổng trên các nhóm có $E_k > 0$ (loại các nhóm suy biến khi $\hat p \in \{0,1\}$ khiến $E_k=0$); gọi $m$ là số nhóm có $E_k>0$:

$\chi^2 = \sum_{k: E_k>0} \frac{(O_k-E_k)^2}{E_k}, \qquad df = \max(m-2,\ 0)$

(trừ $1$ do ràng buộc tổng tần số, trừ thêm $1$ do ước lượng tham số $p$). So sánh $\chi^2$ với giá trị tới hạn $\chi^2_{crit}$ cho trước: nếu $\chi^2 > \chi^2_{crit}$ thì bác bỏ $H_0$, ngược lại chưa đủ cơ sở bác bỏ.

Ví dụ: $n=4$, $O = 5, 20, 40, 25, 10$ ($N=100$): $\hat p = \dfrac{0\cdot5+1\cdot20+2\cdot40+3\cdot25+4\cdot10}{4\cdot100} = 0.5375$. Tính $E_k$ theo Nhị thức rồi $\chi^2 \approx 1.1566$, $df=3$.