solution

Kiểm định hạng có dấu Wilcoxon (Wilcoxon signed-rank test) dùng để so sánh hai mẫu phụ thuộc (bắt cặp) mà không cần giả định phân phối chuẩn.

Với $n$ cặp quan sát $(x_i, y_i)$, tính hiệu $d_i = y_i - x_i$. Loại bỏ các cặp có $d_i = 0$; giả sử còn lại $m$ hiệu khác 0.

Xếp hạng (rank) các trị tuyệt đối $|d_i|$ của $m$ hiệu còn lại theo thứ tự tăng dần (giá trị $|d_i|$ nhỏ nhất nhận hạng $1$). Nếu có các $|d_i|$ bằng nhau, gán hạng trung bình cho các giá trị đó.

Tính:

• $W^+ =$ tổng các hạng của những $i$ có $d_i>0$
• $W^- =$ tổng các hạng của những $i$ có $d_i<0$
• $W = \min(W^+, W^-)$

Nếu $m=0$ (tất cả hiệu đều bằng 0), quy ước $W^+=W^-=W=0$.

Ví dụ: $n=5$, $x=(10,12,9,15,11)$, $y=(12,11,9,18,10)$: hiệu là $2,-1,0,3,-1$; loại cặp thứ 3 (hiệu 0), còn 4 hiệu: $2,-1,3,-1$ với $|d|=2,1,3,1$. Xếp hạng $|d|$: hai giá trị $1$ (vị trí 1,2) nhận hạng trung bình $1.5$; giá trị $2$ nhận hạng $3$; giá trị $3$ nhận hạng $4$. Vậy hạng tương ứng với thứ tự gốc là: $d=2\to 3$, $d=-1\to1.5$, $d=3\to4$, $d=-1\to1.5$. $W^+=3+4=7$, $W^-=1.5+1.5=3$, $W=3$.