solution

Cho bảng tần suất quan sát (bảng chéo/contingency table) gồm $r$ hàng và $c$ cột, thể hiện số lượng đối tượng theo hai tiêu chí phân loại (ví dụ: giới tính và chuyên ngành lựa chọn). Gọi $O_{ij}$ là tần suất quan sát ở hàng $i$, cột $j$. Xét cặp giả thuyết: $H_0: \text{hai tiêu chí phân loại độc lập với nhau} \quad \text{và} \quad H_1: \text{không độc lập}$ ở mức ý nghĩa $\alpha$.

Gọi $R_i = \sum_j O_{ij}$ (tổng hàng $i$), $C_j = \sum_i O_{ij}$ (tổng cột $j$), $N = \sum_{i,j} O_{ij}$. Tần suất kỳ vọng nếu $H_0$ đúng: $E_{ij} = \dfrac{R_i \cdot C_j}{N}$

Tiêu chuẩn kiểm định: $\chi^2 = \sum_{i=1}^r\sum_{j=1}^c \dfrac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}, \qquad df = (r-1)(c-1)$

Giá trị p được tính từ phân phối $\chi^2$ với $df$ bậc tự do: $p = P(\chi^2_{df} \ge \chi^2) = Q\!\left(\dfrac{df}{2}, \dfrac{\chi^2}{2}\right)$ trong đó $Q(a,x) = 1 - P(a,x)$ với $P(a,x)$ là hàm gamma không đầy đủ chuẩn hoá dưới (regularized lower incomplete gamma function): $P(a,x) = \dfrac{1}{\Gamma(a)}\int_0^x t^{a-1}e^{-t}\,dt$

Thí sinh cần tự cài đặt việc tính $P(a,x)$ (ví dụ bằng khai triển chuỗi khi $x<a+1$ và phân số liên tục khi $x \ge a+1$).

Quy tắc quyết định: nếu $p < \alpha$ thì bác bỏ $H_0$, ngược lại không bác bỏ.