solution

Cho $n$ cặp quan sát trước/sau $(x_i,y_i)$, $i=1,\ldots,n$. Xét hiệu $d_i = y_i - x_i$. Loại bỏ các cặp có $d_i = 0$; gọi $m$ là số cặp còn lại (hiệu lực).

Xếp hạng tăng dần các giá trị $|d_i|$ trong $m$ cặp hiệu lực (dùng trung bình hạng khi trùng nhau như các bài trước). Tính: $W^+ = \sum_{i:\, d_i>0} \text{hang}(|d_i|), \qquad W^- = \sum_{i:\, d_i<0} \text{hang}(|d_i|), \qquad W=\min(W^+,W^-)$

Kỳ vọng và phương sai (hiệu chỉnh trùng): $\mu_W = \frac{m(m+1)}{4}, \qquad \sigma_W^2 = \frac{m(m+1)(2m+1)}{24} - \frac{\sum_g (t_g^3-t_g)}{48}$ với tổng chạy qua các nhóm trùng $g$ của $|d_i|$ trong $m$ giá trị hiệu lực.

Thống kê chuẩn hoá (hiệu chỉnh liên tục $0.5$), định nghĩa như bài Mann-Whitney (dựa trên dấu của $W-\mu_W$), và $p = 2(1-\Phi(|z|))$.

Quy ước biên: nếu $m=0$ (mọi $d_i=0$), in khong xac dinh cho dòng $z,p$ (không có dòng $p$ riêng, gộp một dòng) và kết luận Khong bac bo H0.

Kết luận: Bac bo H0 nếu $p<\alpha$, ngược lại Khong bac bo H0.

Ví dụ: $n=4$, $x=(1,2,3,4)$, $y=(2,3,4,5)$: mọi $d_i=1>0$ nên $W^+ = 1+2+3+4=10$ (hạng của 4 giá trị $|d_i|$ bằng nhau, trung bình hạng $=2.5$ mỗi cái, tổng $=10$), $W^-=0$.