solution

Trong một nghiên cứu về hiệu quả của một phương pháp giảng dạy mới, người ta đo điểm số của $n$ sinh viên trước và sau khi áp dụng phương pháp. Với sinh viên thứ $i$, xét hiệu số $d_i = y_i - x_i$ (điểm sau trừ điểm trước).

Các cặp có $d_i = 0$ bị loại khỏi kiểm định (không tính vào cỡ mẫu hiệu lực). Gọi:

• $n^+$ = số cặp có $d_i > 0$,
• $n^-$ = số cặp có $d_i < 0$,
• $m = n^+ + n^-$ (cỡ mẫu hiệu lực).

Kiểm định dấu (Sign Test) một phía phải: $H_0$: xác suất điểm tăng bằng $0.5$ (phương pháp không có tác dụng), đối lập $H_1$: xác suất điểm tăng lớn hơn $0.5$.

Dưới $H_0$, $n^+ \sim \text{Binomial}(m, 0.5)$. Giá trị $p$ (một phía) được tính chính xác bằng: $p = \sum_{k=n^+}^{m} \binom{m}{k} \cdot 0.5^m$

Quy ước biên: nếu $m = 0$ (tất cả hiệu số bằng 0), quy ước $p = 1$ và kết luận "Khong bac bo H0".

Cho mức ý nghĩa $\alpha$: nếu $p < \alpha$ thì kết luận "Bac bo H0", ngược lại "Khong bac bo H0".

Ví dụ: $n=5$, $\alpha=0.05$, điểm trước: 5 6 7 8 9, điểm sau: 6 7 8 9 10. Tất cả 5 hiệu số đều dương nên $n^+=5, n^-=0, m=5$, $p = 0.5^5 = 0.03125 < 0.05$ nên kết luận "Bac bo H0".