solution

Một mẫu dữ liệu định lượng được ghép thành $k$ khoảng (lớp) liên tiếp; khoảng đầu tiên có thể mở về $-\infty$ và khoảng cuối cùng có thể mở về $+\infty$. Với mỗi khoảng $i$, biết cận dưới $l_i$, cận trên $u_i$ (có thể là -inf/+inf), giá trị đại diện (trung điểm quy ước) $m_i$, và tần số quan sát $O_i$.

Ta muốn kiểm định giả thuyết $H_0$: dữ liệu tuân theo phân phối Chuẩn $N(\mu,\sigma^2)$, với $\mu,\sigma$ chưa biết và phải ước lượng từ chính mẫu ghép nhóm bằng công thức:

$\hat\mu = \frac{\sum_i O_i m_i}{n}, \qquad \hat\sigma^2 = \frac{\sum_i O_i (m_i - \hat\mu)^2}{n}, \qquad n = \sum_i O_i$

(Lưu ý: chia cho $n$, không phải $n-1$.)

Gọi $\Phi$ là hàm phân phối tích lũy chuẩn tắc. Xác suất lý thuyết của khoảng $i$ theo $H_0$:

$p_i = \Phi\!\left(\frac{u_i-\hat\mu}{\hat\sigma}\right) - \Phi\!\left(\frac{l_i-\hat\mu}{\hat\sigma}\right)$

(quy ước $\Phi(-\infty)=0$, $\Phi(+\infty)=1$). Tần số kỳ vọng $E_i = n \cdot p_i$. Thống kê kiểm định:

$\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}$

Vì có 2 tham số ($\mu,\sigma$) được ước lượng từ mẫu, bậc tự do: $df = k - 1 - 2 = k - 3$.

Yêu cầu: Tính $\hat\mu$, $\hat\sigma$, $\chi^2$ và $df$.

Ví dụ:

Input:

5
-inf 10 5 8
10 20 15 22
20 30 25 30
30 40 35 25
40 +inf 45 15

Output:

26.7000
11.6666
0.8129
2