solution

Một nghiên cứu đo lường một chỉ tiêu trên cùng $n$ đối tượng ở hai thời điểm "trước" và "sau" một can thiệp, cho hai dãy $x_1,\dots,x_n$ (trước) và $y_1,\dots,y_n$ (sau). Đặt $d_i = y_i - x_i$ là hiệu số của từng cặp. Kiểm định cặp đôi (paired t-test) cho giả thuyết $H_0:\mu_d=0$ (can thiệp không có tác dụng) đối $H_1:\mu_d\neq 0$ dựa trên thống kê:

$t=\dfrac{\bar d}{s_d/\sqrt n}$

trong đó $\bar d=\frac1n\sum d_i$ và $s_d=\sqrt{\dfrac{1}{n-1}\sum (d_i-\bar d)^2}$ là độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh của các hiệu số. Thay vì tính p-value, đề bài cho sẵn giá trị tới hạn Student $t^*$ (đã tra từ bảng ứng với $n-1$ bậc tự do và mức ý nghĩa mong muốn). Kết luận bác bỏ $H_0$ khi và chỉ khi $|t| > t^*$. Quy ước: nếu tất cả $d_i$ bằng nhau (tức $s_d=0$) thì lấy $t=0$.

Ví dụ: $n=2$, trước $=(10,12)$, sau $=(11,15)$, $d=(1,3)$, $\bar d=2$, $s_d=\sqrt2\approx1.4142$, $t=2/(1.4142/\sqrt2)=2.0$; với $t^*=2.920$ thì $|t|=2.0 \le 2.920$ nên kết luận Khong bac bo H0.