solution

Một chuỗi cửa hàng giả định rằng khi không chi bất kỳ khoản nào cho quảng cáo thì doanh thu tăng thêm bằng $0$ (mô hình đi qua gốc tọa độ, không có hệ số chặn). Gọi $x_1$ là chi phí quảng cáo online, $x_2$ là chi phí quảng cáo offline, $y$ là doanh thu tăng thêm. Mô hình hồi quy có dạng:

$y = \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \varepsilon$

Với $n$ quan sát $(x_{1i}, x_{2i}, y_i)$, ước lượng $\beta_1, \beta_2$ theo phương pháp bình phương tối thiểu (minimize $\sum (y_i - \beta_1 x_{1i} - \beta_2 x_{2i})^2$) dẫn tới hệ phương trình chuẩn tắc:

$\begin{cases}\beta_1 \sum x_{1i}^2 + \beta_2 \sum x_{1i}x_{2i} = \sum x_{1i}y_i\\ \beta_1 \sum x_{1i}x_{2i} + \beta_2 \sum x_{2i}^2 = \sum x_{2i}y_i\end{cases}$

Hãy giải hệ trên để tìm $\beta_1, \beta_2$.

Ví dụ: với 2 quan sát $(1,2,5)$ và $(2,1,4)$, hệ phương trình chuẩn tắc cho nghiệm $\beta_1 = 1, \beta_2 = 2$.