Các lượt nộp
    Danh sách bài
    Trang chủ
    Báo lỗi

    solution

    Đề bài: [Xác suất - Thống kê] Hồi quy trọng số (Weighted Least Squares)

    Trong hồi quy tuyến tính có trọng số (Weighted Least Squares), mỗi quan sát (xi,yi)(x_i, y_i)(xi​,yi​) được gán một trọng số wi>0w_i > 0wi​>0 (phản ánh độ tin cậy của quan sát đó). Mô hình y^=b0+b1x\hat y = b_0 + b_1 xy^​=b0​+b1​x được ước lượng bằng cách cực tiểu hóa ∑iwi(yi−b0−b1xi)2\sum_i w_i (y_i - b_0 - b_1 x_i)^2∑i​wi​(yi​−b0​−b1​xi​)2.

    Đặt trung bình có trọng số xˉw=∑wixi∑wi\bar x_w = \dfrac{\sum w_i x_i}{\sum w_i}xˉw​=∑wi​∑wi​xi​​, yˉw=∑wiyi∑wi\bar y_w = \dfrac{\sum w_i y_i}{\sum w_i}yˉ​w​=∑wi​∑wi​yi​​. Khi đó:

    b1=∑iwi(xi−xˉw)(yi−yˉw)∑iwi(xi−xˉw)2,b0=yˉw−b1xˉwb_1 = \dfrac{\sum_i w_i (x_i-\bar x_w)(y_i-\bar y_w)}{\sum_i w_i (x_i-\bar x_w)^2}, \qquad b_0 = \bar y_w - b_1 \bar x_wb1​=∑i​wi​(xi​−xˉw​)2∑i​wi​(xi​−xˉw​)(yi​−yˉ​w​)​,b0​=yˉ​w​−b1​xˉw​

    Tính thêm hệ số xác định có trọng số:

    Rw2=1−∑iwi(yi−b0−b1xi)2∑iwi(yi−yˉw)2R^2_w = 1 - \dfrac{\sum_i w_i (y_i - b_0 - b_1 x_i)^2}{\sum_i w_i (y_i - \bar y_w)^2}Rw2​=1−∑i​wi​(yi​−yˉ​w​)2∑i​wi​(yi​−b0​−b1​xi​)2​

    Ví dụ: với 3 điểm cùng trọng số wi=1w_i=1wi​=1: (1,2,1),(2,4,1),(3,5,1)(1,2,1),(2,4,1),(3,5,1)(1,2,1),(2,4,1),(3,5,1), kết quả tương đương hồi quy thường: b0≈0.6667,b1=1.5,Rw2≈0.9643b_0 \approx 0.6667, b_1=1.5, R^2_w \approx 0.9643b0​≈0.6667,b1​=1.5,Rw2​≈0.9643.

    • Định dạng đầu vào:

      Dòng đầu là số nguyên nnn (2≤n≤1052 \le n \le 10^52≤n≤105). nnn dòng tiếp theo mỗi dòng ba số thực xi,yi,wix_i, y_i, w_ixi​,yi​,wi​ với wi>0w_i>0wi​>0. Dữ liệu đảm bảo ∑wi(xi−xˉw)2>0\sum w_i(x_i-\bar x_w)^2 > 0∑wi​(xi​−xˉw​)2>0 và ∑wi(yi−yˉw)2>0\sum w_i(y_i-\bar y_w)^2>0∑wi​(yi​−yˉ​w​)2>0.

    • Định dạng đầu ra:

      In ra một dòng ba số thực b0,b1,Rw2b_0, b_1, R^2_wb0​,b1​,Rw2​, mỗi số làm tròn đến 4 chữ số thập phân, cách nhau bởi khoảng trắng.

    Ví dụ:

    Đầu vào:

    4
1 2 1
2 3 2
3 5 1
4 4 3

    Đầu ra:

    1.7742 0.6290 0.6133

    Đầu vào:

    3
1 2 1
2 4 1
3 5 1

    Đầu ra:

    0.6667 1.5000 0.9643

    Đang tải editor...