solution

Cho $n$ cặp quan sát $(x_i, y_i)$ với $y_i > 0$ với mọi $i$. Người ta muốn khớp dữ liệu theo mô hình hàm mũ

$y = a \cdot b^{x}, \qquad a > 0,\ b > 0.$

Lấy logarit tự nhiên hai vế: $\ln y = \ln a + x \ln b$. Đây là mô hình tuyến tính đối với $\ln y$ theo $x$. Thực hiện hồi quy tuyến tính đơn (bình phương tối thiểu) của $\ln y_i$ theo $x_i$ để tìm $A = \ln a$ (hệ số chặn) và $B = \ln b$ (hệ số góc), sau đó suy ra $a = e^A$ và $b = e^B$.

Cho thêm giá trị $x_0$, hãy tính $a$, $b$, và giá trị dự đoán $\hat{y}_0 = a \cdot b^{x_0}$.

Ví dụ: Với $x=(0,1,2,3,4)$, $y=(2, 3, 4.5, 6.75, 10.125)$ (đúng theo mô hình $y=2\cdot 1.5^x$), $x_0=5$: $a=2.0000$, $b=1.5000$, $\hat{y}_0=15.1875$.