solution

Có hai tổng thể độc lập với tham số $(\mu_1,\sigma_1)$ và $(\mu_2,\sigma_2)$ ($\sigma_1,\sigma_2\ge 0$). Lấy độc lập hai mẫu ngẫu nhiên kích thước $n_1$ (từ tổng thể 1) và $n_2$ (từ tổng thể 2). Theo CLT, $\bar X_1\sim N(\mu_1,\sigma_1^2/n_1)$ và $\bar X_2\sim N(\mu_2,\sigma_2^2/n_2)$ độc lập, nên với $D=\bar X_1-\bar X_2$:

$D\sim N\Big(\mu_1-\mu_2,\ \frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}\Big)$

Trường hợp đặc biệt: nếu phương sai của $D$ bằng 0 (cả $\sigma_1=\sigma_2=0$), $D$ là hằng số $=\mu_1-\mu_2$.

Cho $a\le b$, hãy tính $P(a\le D\le b)$.

Ví dụ: $\mu_1=50,\sigma_1=10,n_1=30,\mu_2=45,\sigma_2=8,n_2=40,a=0,b=10$: trung bình của $D$ là $5$, phương sai $=100/30+64/40=3.9\overline{3}$, độ lệch chuẩn $\approx1.983150$; $z_a=(0-5)/1.983150\approx-2.5212$, $z_b=(10-5)/1.983150\approx2.5212$; kết quả $\approx 0.975622$.