solution

Xét một hệ thống gồm $n$ phần tử độc lập, phần tử thứ $i$ có tuổi thọ $X_i$ tuân theo phân phối mũ với tham số $\lambda_i>0$ (các $\lambda_i$ có thể khác nhau). Xác suất phần tử $i$ còn sống tại thời điểm $t$ là

$p_i=P(X_i>t)=e^{-\lambda_i t}.$

Hệ thống được gọi là $k$-trên-$n$ nếu nó còn hoạt động tại thời điểm $t$ khi và chỉ khi có ít nhất $k$ trong số $n$ phần tử còn sống tại $t$. Gọi $N(t)$ là số phần tử còn sống tại $t$ (một biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị $0,\ldots,n$, tổng hợp từ $n$ biến Bernoulli độc lập không đồng phân phối với xác suất thành công $p_1,\ldots,p_n$). Độ tin cậy của hệ cần tính là

$R(t)=P(N(t)\ge k).$

Cho $n,k,t$ và $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$, hãy tính $R(t)$ (có thể dùng quy hoạch động: $dp_j$ = xác suất đúng $j$ phần tử đã xét còn sống, cập nhật dần qua từng phần tử).

Ví dụ: $n=3,k=2,t=1$, $\lambda=(0.5,1,2)$: $p=(e^{-0.5},e^{-1},e^{-2})\approx (0.606531,0.367879,0.135335)$. Xác suất có ít nhất 2 trong 3 phần tử còn sống là $R(1)\approx 0.294607$.