solution

Một xét nghiệm sàng lọc bệnh có các đặc trưng sau, cho dưới dạng phân số:

• $P(D)$: tỉ lệ mắc bệnh trong quần thể (prevalence).
• $P(+\mid D)$: độ nhạy (sensitivity) — xác suất xét nghiệm dương tính khi thực sự mắc bệnh.
• $P(-\mid \overline{D})$: độ đặc hiệu (specificity) — xác suất xét nghiệm âm tính khi không mắc bệnh.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần và định lý Bayes, tính xác suất một người thực sự mắc bệnh biết rằng xét nghiệm cho kết quả dương tính: $P(D\mid +) = \dfrac{P(+\mid D)\,P(D)}{P(+\mid D)\,P(D) + P(+\mid \overline{D})\,P(\overline{D})}, \quad P(+\mid \overline D) = 1 - P(-\mid \overline D).$

Nếu mẫu số bằng $0$ (không bao giờ có kết quả dương tính xảy ra), xác suất điều kiện không xác định.

Ví dụ: $P(D)=1/100$, độ nhạy $=99/100$, độ đặc hiệu $=98/100$. Khi đó $P(D\mid +) = 1/3$ — dù xét nghiệm khá chính xác, do bệnh hiếm nên xác suất mắc bệnh thật khi dương tính chỉ là $1/3$.