solution

Trên một thị trường có $k$ thương hiệu cạnh tranh. Hành vi chuyển đổi thương hiệu của khách hàng giữa các kỳ (ví dụ mỗi quý) được mô hình hoá bằng chuỗi Markov với ma trận chuyển đổi $P$ kích thước $k \times k$, trong đó $P_{ij}$ là xác suất một khách hàng đang dùng thương hiệu $i$ sẽ chuyển sang dùng thương hiệu $j$ ở kỳ kế tiếp (mỗi hàng của $P$ có tổng bằng 1).

Cho vector thị phần ban đầu $v_0$ (tổng các thành phần bằng 1). Thị phần sau $n$ kỳ được tính bằng $v_n = v_0 \cdot P^n$ (nhân vector hàng với luỹ thừa ma trận).

Ngoài ra, hãy tính thị phần ổn định (steady state / stationary distribution) $\pi$ — vector thoả $\pi P = \pi$ và $\sum \pi_i = 1$ — bằng cách giải hệ phương trình tuyến tính tương ứng (giả thiết chuỗi Markov đã cho luôn có duy nhất một phân phối ổn định).

Ví dụ: $k=2$, $P=\begin{pmatrix}0.7&0.3\\0.4&0.6\end{pmatrix}$, $v_0=(0.5,0.5)$, $n=0$: thị phần sau 0 kỳ chính là $v_0=(0.5000, 0.5000)$; thị phần ổn định là $\pi=(0.5714, 0.4286)$.