solution

Cho chuỗi thời gian $y_1,\ldots,y_n$ có tính thời vụ với chu kỳ $L$ ($L\ge 2$, $n \ge 2L$). Áp dụng phương pháp tỉ lệ trên trung bình trượt (ratio-to-moving-average, mô hình nhân tính) để tính chỉ số thời vụ như sau.

Bước 1 — Trung bình trượt căn giữa (CMA): với $half = \lfloor L/2 \rfloor$,

• Nếu $L$ lẻ: $CMA_t = \dfrac{1}{L}\displaystyle\sum_{j=-half}^{half} y_{t+j}$, xác định với $t = half+1, \ldots, n-half$.
• Nếu $L$ chẵn: $CMA_t = \dfrac{1}{L}\Big(0.5\,y_{t-half} + y_{t-half+1} + \cdots + y_{t+half-1} + 0.5\,y_{t+half}\Big)$, xác định với $t = half+1, \ldots, n-half$.

Bước 2 — Tỉ số: với mỗi $t$ có $CMA_t$ xác định, tính $ratio_t = y_t / CMA_t$.

Bước 3 — Chỉ số thô theo mùa: gán mỗi thời điểm $t$ vào mùa (season) số $s = ((t-1) \bmod L) + 1$ ($s=1,\ldots,L$); chỉ số thô $S_s$ là trung bình cộng của tất cả $ratio_t$ có cùng mùa $s$.

Bước 4 — Chuẩn hóa: nhân mỗi $S_s$ với hệ số $L / \sum_{s=1}^{L} S_s$ để tổng các chỉ số sau chuẩn hóa bằng đúng $L$ (trung bình bằng $1$).

Yêu cầu: in ra $L$ chỉ số thời vụ đã chuẩn hóa, theo đúng thứ tự mùa $s=1,\ldots,L$.

Ví dụ: $n=8, L=4$, dãy $80,90,110,120,85,95,115,125$ (2 chu kỳ quý). Kết quả (làm tròn 4 chữ số) là:

0.8231 0.9089 1.0917 1.1763