solution

Một cơ sở y tế xét nghiệm sàng lọc $k$ bệnh loại trừ lẫn nhau (bệnh nhân chỉ có thể mắc đúng một trong $k$ bệnh, hoặc mắc bệnh $i$ với xác suất tiên nghiệm $p_i$). Với mỗi bệnh $i$, nếu bệnh nhân thực sự mắc bệnh đó thì xét nghiệm cho kết quả dương tính với xác suất $s_i$ (độ nhạy riêng của xét nghiệm đối với bệnh $i$).

Biết kết quả xét nghiệm của một bệnh nhân là dương tính, hãy dùng công thức Bayes để tính xác suất hậu nghiệm $P(\text{bệnh } i \mid \text{dương tính})$ cho từng bệnh, sau đó xác định bệnh có xác suất hậu nghiệm lớn nhất. Nếu có nhiều bệnh cùng đạt giá trị lớn nhất, chọn bệnh có chỉ số nhỏ nhất.

Công thức: $P(\text{bệnh } i \mid +) = \dfrac{p_i s_i}{\sum_{j=1}^{k} p_j s_j}$.

Ví dụ: với $k=2$, $p = (0.5, 0.5)$, $s=(0.5,0.5)$ thì hai bệnh có posterior bằng nhau $=0.5$, chọn bệnh có chỉ số nhỏ hơn là bệnh 1, xác suất $0.5$.