solution

Xác suất thành công $\theta$ của một quá trình Bernoulli có tiên nghiệm là phân phối $\mathrm{Beta}(a_0, b_0)$ với $a_0, b_0$ là các số nguyên dương. Ta quan sát $n$ phép thử độc lập, có $s$ lần thành công ($0 \le s \le n$).

Do tính liên hợp (conjugacy) của Beta với Bernoulli, hậu nghiệm của $\theta$ là $\mathrm{Beta}(a, b)$ với $a = a_0 + s$, $b = b_0 + (n - s)$.

Yêu cầu:

1. Tính kỳ vọng hậu nghiệm $\mathbb{E}[\theta \mid \text{data}] = \dfrac{a}{a+b}$.
2. Cho một ngưỡng $t \in [0, 1]$, tính chính xác xác suất $P(\theta > t \mid \text{data})$.

Có thể tính chính xác đại lượng ở ý 2 (không cần tích phân số) nhờ đẳng thức liên hệ giữa phân phối Beta với tham số nguyên và phân phối nhị thức: nếu $a, b$ là số nguyên dương và $N = a + b - 1$ thì

$P(\theta > t \mid \mathrm{Beta}(a,b)) = \sum_{j=0}^{a-1} \binom{N}{j} t^{j} (1-t)^{N-j}$

(đây chính là xác suất để một biến ngẫu nhiên $\mathrm{Binomial}(N, t)$ nhận giá trị nhỏ hơn $a$; quy ước $0^0 = 1$).

Ví dụ: $a_0=1, b_0=1$ (tiên nghiệm đều), $n=0, s=0$ (chưa có dữ liệu), $t=0.5$: hậu nghiệm vẫn là $\mathrm{Beta}(1,1)$, kỳ vọng $= 0.5$, và $P(\theta > 0.5) = 0.5$.